Фамилия является фонетическим вариантом фамилии БЕГОВОЙ, и обе восходят к церковнославянскому имени Бегей, что наглядно просматривается на этимологической цепочке их образования (см. БЕГОВОЙ): БЕГАВОЙ  < БЕГОВОЙ < Бег < Бегей.

Зачастую слог -ов- в фамилиях на -овой/-овый выступает в безударном положении, что могло повлечь к смене его на -ав-: безударные а и о звучат почти одинаково, что не отражено в орфографии. Поэтому многие фамилии с конечным элементом -овой/-овый обнаруживают фонетических двойников на -авой/-авый.   

Ударение в таких фамилиях обычно совпадает с правилом современного русского языка для прилагательных: -ой – всегда ударный, -ый – безударный. И всё же ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – БЕГАВАЯ.

БЕГАВОЙ Владимир Матвеевич.

Участник Великой Отечественной войны.  

Читать по теме:

- См. Библиография. 6. Часть 3, стр. 213.

- См. Происхождение фамилий.2., 2.2., 2.2.1., 2.2.1.3., 4., 4.1., 4.1.2.