Фамилия является фонетическим вариантом фамилии БУТСКИЙ, и обе могут восходить к церковнославянским именам Буккий и Буккия (см. БУТСКИЙ), что наглядно просматривается на этимологических цепочках их образования: 

БУДСКИЙ < БУТСКИЙ < БУЦКИЙ < Бук < Букий < Буккий;

БУДСКИЙ < БУТСКИЙ < БУЦКИЙ < Бук < Букия < Буккия.

На Руси постепенно сложилась традиция образования фамилий с престижным конечным элементом -ский, который мог располагаться после глухого звука -т-. Однако в силу каких-то предпочтений писаря или по желанию носителя фамилии придать ей звучность, глухой звук -т- конечного элемента -тский в фамилии мог быть заменён его звонким собратом -д-, что и оформилось на письме. Так, параллельно фамилиям на -тский, появились фамилии на -дский. 

Ударение в фамилии не регламентируется правилами русского языка, однако в фамилиях на -ский, как правило, ударению не подвергается конечный слог. В любом случае ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – БУДСКАЯ.

БУДСКИЙ Николай Николаевич.

Участник Великой Отечественной войны.

Читать по теме:

- См. Библия. Чис 34.22.   

- См. Библиография. 9. Стр. 59.

- См. Библиография. 10. Стр. 316.

- См. Происхождение фамилий. 2., 2.2., 2.2.2., 2.2.2.5., 4., 4.1., 4.1.1., 4.1.5.