Фамилия является фонетическим вариантом фамилии ЕЛЕВОЙ, и обе могут восходить к церковнославянским именам Ела и Елия  (см. ЕЛЕВОЙ), что наглядно просматривается на этимологических цепочках их образования: 

ЕЛИВОЙ < ЕЛЕВОЙ < Елий < Ел < Ела;

ЕЛИВОЙ < ЕЛЕВОЙ < Елий < Ел < Елия.

Зачастую слог -ев- в фамилиях на -евой/-евый выступает в безударном положении, что могло повлечь к смене его на -ив-: безударные е и и звучат почти одинаково, что не отражено в орфографии. Поэтому многие фамилии с конечным элементом -евой/-евый обнаруживают фонетических двойников  на -ивой/-ивый.   

Ударение в таких фамилиях обычно совпадает с правилом современного русского языка для прилагательных: -ой – всегда ударный, -ый – безударный. И всё же ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – ЕЛИВАЯ.

ЕЛИВОЙ Андрей Григорьевич.

Участник Великой Отечественной войны.  

Читать по теме:

- См. Библия. 1 Пар. 8.27.   

- См. Библиография. 9. Стр. 124.

- См. Библиография. 10. Стр. 497.

- См. Происхождение фамилий. 2., 2.2., 2.2.1., 2.2.1.3., 4., 4.1., 4.1.6.