Фамилия является фонетическим вариантом фамилии ГАЕВОЙ, и обе восходят к церковнославянскому имени Гай (см. ГАЕВОЙ), что наглядно просматривается на этимологической цепочке их образования: ГАИВОЙ < ГАЕВОЙ < Гай.

Зачастую слог -ев- в фамилиях на -евой/-евый выступает в безударном положении, что могло повлечь к смене его на -ив-: безударные е и и звучат почти одинаково, что не отражено в орфографии. Поэтому многие фамилии с конечным элементом -евой/-евый обнаруживают фонетических двойников  на -ивой/-ивый.   

Ударение в таких фамилиях обычно совпадает с правилом современного русского языка для прилагательных: -ой – всегда ударный, -ый – безударный. И всё же ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – ГАИВАЯ.

ГАИВОЙ Николай Васильевич.

Участник Великой Отечественной войны.  

Читать по теме:

- См. Библиография. 2. Стр. 82.

- См. Библиография. 3. Стр. 70.

- См. Библиография. 4. Стр. 85.

- См. Библиография. 6. Часть 3, стр. 215.

- См. Происхождение фамилий. 2., 2.2., 2.2.1., 2.2.1.3., 3.1.