Фамилия является фонетическим вариантом фамилии ЛИВУТСКИЙ, и обе могут восходить к церковнославянским именам Ливий и Ливия (см. ЛИВУТСКИЙ), что наглядно просматривается на этимологических цепочках их образования:

ЛИВУДСКИЙ < ЛИВУТСКИЙ < ЛИВУЦКИЙ < Лив < Ливий;

ЛИВУДСКИЙ < ЛИВУТСКИЙ < ЛИВУЦКИЙ < Лива < Ливия.

На Руси постепенно сложилась традиция образования фамилий с престижным конечным элементом -ский, который мог располагаться после глухого звука -т-. Однако в силу каких-то предпочтений писаря или по желанию носителя фамилии придать ей звучность, глухой звук -т- конечного элемента -тский в фамилии мог быть заменён его звонким собратом -д-, что и оформилось на письме. Так, параллельно фамилиям на -тский, появились фамилии на -дский. 

Ударение в фамилии не регламентируется правилами русского языка, однако в фамилиях на -ский, как правило, ударению не подвергается конечный слог. В любом случае ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – ЛИВУДСКАЯ.

ЛИВУДСКИЙ Аксентий Григорьевич.

Участник Великой Отечественной войны.

Читать по теме:

- См. Библиография. 2. Стр. 142.  

- См. Библиография. 4. Стр. 156, 330.

- См. Библиография. 6. Часть 1, стр. 168.

- См. Библиография. 6. Часть 3, стр. 223.

- См. Происхождение фамилий. 2., 2.2., 2.2.2., 2.2.2.5., 4., 4.1., 4.1.1., 4.1.11.