Фамилия образована от мужского имени Транквилин, которое является производной формой имени Транквиллин: стягивание двойных согласных – один из способов формирования нового имени. Имя  Транквилин – результат модификации церковнославянского имени Транквиллин, что наглядно просматривается на этимологической цепочке образования нового имени от прежнего, а от него – фамилии: ТРАНКВИЛИНСКИЙ < Транквилин < Транквиллин. Каноническое имя Транквиллин в разные годы входило в многочисленные православные церковные календари, но отсутствует в современных месяцесловах, начиная с 1891 года. Это имя берёт начало от латинского «tranquillus» – «тихий, спокойный, безмятежный».

Фамильный суффикс -ск(ий) пришёл на Русь вместе с традицией создания фамилий из Польши. Первоначально такими фамилиями обзаводились представители знати. Но затем престижность фамилий на -ский побуждала представителей других слоёв населения формировать свои фамилии с таким элементом. При формировании фамилий суффикс -ск(ий) добавляется к мужским именам или прозвищам, оканчивающимся на твёрдую (кроме -л) или всегда мягкую согласную. 

Ударение в фамилии не регламентируется правилами русского языка, однако в фамилиях на -ский, как правило,  ударению не подвергается конечный слог. В любом случае ударение в фамилии лучше уточнить у её носителя.

Женская форма фамилии – ТРАНКВИЛИНСКАЯ.

ТРАНКВИЛИНСКИЙ Иван Васльевич.

Награждён медалью «За боевые заслуги».

Читать по теме:

- См. Библиография. 2. Стр. 210. 

- См. Библиография. 3. Стр. 213. 

- См. Происхождение фамилий. 2.2., 2.2.2., 2.2.2.1., 4., 4.2., 4.2.7.